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计算几何(旁切圆) - Ex-circles - UVA 11731

题意：

$给定三角形ABC的三条边长，如下图所示$

输入：

$多组测试数据，$

$每组包括三个正整数，分别表示三角形ABC三条边的边长a,b,c$

$三个0表示输入结束。$

输出：

$两个浮点数，分别表示三角形DEF的面积和阴影部分的面积。$

Sample Input

3 4 510 11 120 0 0

Sample Output

Case 1: 30.00 21.62Case 2: 211.37 144.73

数据范围：

$数据总数不超过6000组，边的长度不超过1000.$

分析：

几个重要结论：

$①、△ABC的三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)对应的三个旁切圆的半径依次为：$

$$R_D=\frac{2S}{-a+b+c}、R_E=\frac{2S}{a-b+c}、R_F=\frac{2S}{a+b-c}$$

$②、对应的三个圆心D、E、F依次为：$

$$\begin{gathered} D(\frac{-a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3}{-a+b+c},\frac{-a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3}{-a+b+c})， \\ E(\frac{a{x}_1-b{x}_2+c{x}_3}{a-b+c},\frac{a{y}_1-b{y}_2+c{y}_3}{a-b+c})， \\ F(\frac{a{x}_1+b{x}_2-c{x}_3}{a+b-c},\frac{a{y}_1+b{y}_2-c{y}_3}{a+b-c}) \end{gathered}$$

$③、\angle AFB=\frac{\angle A+\angle B}{2}，\angle AEC=\frac{\angle A+\angle C}{2}，\angle BDC=\frac{\angle B+\angle C}{2}$

简要说明结论③：

$旁心，是三角形ABC的外角角平分线的交点。$

$则\angle FAB=\frac{\pi -\angle A}{2}，\angle FBA=\frac{\pi -\angle B}{2}，故\angle AFB=\pi -\angle FAB-\angle FBA=\frac{\angle A+\angle B}{2}$

$\angle AEC与\angle BDC同理。$

本题解题步骤：

$①、S_{△DEF}=S_{△ABC}+S_{△ABF}+S_{△ACE}+S_{△BCD}$

$而S_{△ABF}=c\cdot R_F\cdot \frac{1}{2}，S_{△ACE}=b\cdot R_E\cdot \frac{1}{2}，S_{△BCD}=a\cdot R_D\cdot \frac{1}{2}$

$我们直接利用公式解出三条旁切圆的半径即可解决此问题。$

$②、接着求阴影部分面积，已知旁切圆半径，再知道对应的圆心角即可算得扇形面积。$

$S_{扇形F}=\frac{1}{2}\cdot \angle AFB\cdot R_F^2，S_{扇形E}=\frac{1}{2}\cdot \angle AEC\cdot R_E^2，S_{扇形D}=\frac{1}{2}\cdot \angle BDC\cdot R_D^2$

$我们已知三边长a,b,c，就容易计算出对应的三个角\angle A、\angle B、\angle C，$

$就可以直接算得对应的圆心角。最后累加扇形的面积即可解决。$

注意：

$不能够通过S_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA来计算角A，因为sin函数在[0,\pi ]上不是单调函数，$

$正确的做法是利用余弦定理：$

$$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$再用反余弦函数来计算角A。\angle B和\angle C计算同理。$

代码：

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        using namespace std;const double eps=1e-10;double areaT(double d,double h) //三角形面积底乘高{       return d*h/2.0;}double area(double th,double R) //圆弧面积{       return th*R*R/2.0;}double angle(double a,double b,double c){       return acos((a*a+b*b-c*c)/(2*a*b));}int main(){       int T=1;    int a,b,c;    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a&&b&&c)    {           double p=(double)(a+b+c)/2.0;        double S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));        double RD=2.0*S/(-a+b+c), RE=2.0*S/(a-b+c), RF=2.0*S/(a+b-c);        double A=angle(b,c,a), B=angle(c,a,b), C=angle(b,a,c);        double F=(A+B)/2.0, E=(A+C)/2.0, D=(B+C)/2.0;        double SDEF=S+areaT(c,RF)+areaT(b,RE)+areaT(a,RD);        double Sshad=area(F,RF)+area(E,RE)+area(D,RD);                printf("Case %d: %.2lf %.2lf\n",T++,SDEF,Sshad);    }    return 0;}
       
      
     
    
   

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